相关计算

规范的判定线事件列表应该满足以下条件：

• 按照事件的 startTime 从小到大排序。

• 对于速度事件列表，第一个事件的 startTime 为0。

• 对于其它事件列表，第一个事件的 startTime 为一个足够小的数，如-999999。

• 紧接着，每个事件的 startTime 应该与上一个事件的 endTime 相等。

• 最后一个事件的 endTime 为一个足够大的数，如1000000000。

满足条件后，我们才能正确进行下面的计算。

速度事件的 floorPosition

速度事件的 floorPosition 表示事件开始时刻的垂直位置，单位 $\text{Y}$。

• 设第 $k$ 个事件的 startTime 为 $t_k$，value 为 $v_k$，floorPosition 为 $p_k$，则有：

  $$p_1=t_1{\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}}=0,p_k=p_{k-1}+v_{k-1}(t_k-t_{k-1}){\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}},k\ge 2$$

判定线的实时参数

判定线的实时速度和垂直位置可以通过以下方法计算：

• 设第 $k$ 个事件的 startTime 为 $t_k$，value 为 $v_k$，floorPosition 为 $p_k$，则有：

  $$V_J(t)=v_k,P_J(t)=p_k+v_k(t-t_k){\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}},t_k\le t<t_{k+1}$$

  $V_J(t)$ 表示判定线在时刻 $t$ 的速度，单位 $\text{Y/s}$。

  $P_J(t)$ 表示判定线在时刻 $t$ 的垂直位置，单位 $\text{Y}$。

判定线的其它参数（不透明度、X/Y 坐标、旋转角度）计算较为简单，仅需进行线性插值：

• 设第 $k$ 个事件的 startTime 为 $t_k$，start 为 $s_k$，end 为 $e_k$，则有：

  $$S_J(t)=s_k+(t-t_k){\displaystyle \frac{e_k-s_k}{t_{k+1}-t_k}},t_k\le t<t_{k+1}$$

  $S_J(t)$ 表示判定线在时刻 $t$ 的参数，单位与 $s_k$ 和 $e_k$ 相同。

音符的实时参数

音符的实时参数可以通过以下方法计算：

• 设音符的 floorPosition 为 $p_N$，判定线在时刻 $t$ 的垂直位置为 $P_J(t)$，则有：

  $$P_N(t)=p_N-P_J(t)$$

  $P_N(t)$ 表示音符在时刻 $t$ 的currentFloorPosition，单位 $\text{Y}$。

• 设音符的 time 为 $t_N$，令 $t=t_N$，则有：

  $$P_N(t_N)=p_N-P_J(t_N)$$

  音符在判定时刻应该与判定线重合，即

  $$P_N(t_N)=0⟺p_N=P_J(t_N)$$

  由此可知，音符的 floorPosition 应该与其所在判定线在时刻 $t_N$ 的垂直位置相等，确保在判定时刻恰好与判定线重合。

• 设音符的 holdTime 为 $t_H$，speed 为 $\eta$，然后有：

  TIP

  对音符垂直距离的计算，视乎音符类型而有所不同。

  非 Hold 音符：

  $$Y(t)=\eta \cdot P_N(t)=\eta (p_N-P_J(t))$$

  Hold 音符头部，$t\le t_N$：

  $$Y(t)=P_N(t)=p_N-P_J(t)$$

  Hold 音符尾部，$t\le t_N$：

  $$\begin{array}{rl}{Y}_T(t)& =Y(t)+\eta \cdot t_H{\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}}=p_N-P_J(t)+\eta \cdot t_H{\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}}\\ & =P_J(t_N)-P_J(t)+\eta \cdot t_H{\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}}⟺p_N=P_J(t_N)\end{array}$$

  Hold 音符尾部，$t_N<t\le t_N+t_H$：

  $$\begin{array}{rl}{Y}_T(t)& ={\displaystyle \frac{t_N+t_H-t}{t_H}}{Y}_T(t_N)\\ & =\eta \cdot (t_N+t_H-t){\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}}⟺p_N=P_J(t_N)\end{array}$$

  $Y(t)$ 表示音符在时刻 $t$ 的垂直距离，单位 $\text{Y}$。

  联立上述二式取极限，解得：

  $$\eta =\underset{t\to t_N}{lim}{\displaystyle \frac{P_J(t_N)-P_J(t)}{(t_N-t){\displaystyle \frac{1.875}{\text{BPM}}}}}=V_J(t_N)$$

  由此可知，Hold 音符的 speed 应该与其所在判定线在时刻 $t_N$ 的速度相等，确保打击时 Hold 尾速度与打击前相同。